DIMENSIONEN

In diesem Abschnitt sollen einige Überlegungen zu den Dimensionen erörtert werden. Das der Raum, der uns umgibt, dreidimensional ist, ist ja hinlänglich bekannt, aber warum ist das so? Existieren noch höherdimensionale Räume? Was hat es mit gebrochenzahligen Dimensionen auf sich?

Von Null bis Drei

Dass Leben in einem nulldimensionalen Raum nicht möglich ist, leuchtet sofort ein. Alles wäre auf einen Punkt konzentriert, und dort gäbe es kaum Raum für Entfaltung.

Der eindimensionale Raum, eine Linie, bietet da mehr Bewegungsfreiheit, aber auch hier wäre alles weitgehend statisch, die fiktiven Lebewesen auf der Linie könnten sich zwar entlang der Linie bewegen, aber nicht die Plätze tauschen.

Leben in zwei Dimensionen ist schon eher vorstellbar, allerdings wäre der Stoffwechsel stark eingeschränkt; insbesondere kann es nur eine Öffnung für Nahrungsaufnahme und die Abgabe der unverdaulichen Reste geben, weil ein durchgehender Verdauungstrakt das Lebewesen in zwei Teile zerfallen ließe.

1884 verfasste Edwin Abbot sein Buch "Flatland", in dem zweidimensionale Lebewesen beschrieben werden, die Besuch von höherdimensionalen Lebensformen bekommen. Hier wird ein Ausblick gegeben, wie denn der Besuch eines vierdimensionalen Wesens in unserer Welt aussehen würde.

Rein physikalisch lässt sich zeigen, dass es nur in drei Dimensionen stabile Planetenbahnen gibt, bei vier und mehr Dimensionen existieren keine gebundenen Lösungen mehr. Dimensionen kleiner als drei wären demgegenüber physikalisch denkbar, schränken aber die Komplexität der Organismen ein, was beispielsweise die Vernetzung der Nervenbahnen betrifft. Diese Überlegungen werden sehr schön in dem Artikel "Die Dimensionen des Lebens – ein physikalischer Blick auf die Dimensionen von Raum und Zeit" von Harald Lesch und Josef M. Gaßner ausgeführt, der im Physik Journal 6 (2007) Nr. 4 erschienen ist. Hier wird auch die Idee einer mehrdimensionalen Zeit diskutiert.

4D und höher

Es sieht nun so aus, dass (zumindest was intelligentes Leben betrifft) drei Dimensionen neben einer eindimensionalen Zeit die einzig mögliche Grundlage dafür bieten. Seit Einstein sind nun Raum und Zeit zu einer vierdimensionalen Raumzeit verwoben, sodass Bewegungen durch die Zeit (also das Verstreichen der Zeit) und Bewegungen durch den Raum für unterschiedliche Beobachter teilweise gegeneinander austauschbar sind.

Darüberhinaus stellt die allgemeine Relativitätstheorie die Gravitation als eine Verformung des Raum-Zeit-Kontinuums dar (wohl jeder kennt die Analogie, wonach ein schwerer Gegenstand auf einer elastischen Oberfläche einsinkt diese auch in seinem Umfeld mehr oder weniger stark verformt). Somit kann vereinfacht gesagt werden, dass durch die Verknüpfung von Raum und Zeit die Masse als eine Eigenschaft des Raumes dargestellt werden kann.

Mathematisch gesehen sind höherdimensionale Räme leicht konstruierbar. Verschiebt man ein Quadrat im Raum (senkrecht zu seiner Fläche), so entsteht ein Würfel:

Verschiebt man einen Würfel in eine Richtung senkrecht zu seinen Begrenzungen (wohin auch immer das ist, jedenfalls senkrecht zu unseren drei Raumdimensionen), entsteht ein Tesserakt:

Beide Bilder habe ich bei www.mathematische-spielereien.de/hyperkubus.htm gefunden. Ein Modell eines Tesseraktes, das mit der Maus im Raum gedreht werden kann, ist unter http://www.geocities.com/hjsmithh/WireFrame4/tesseract.html zu sehen.

Neuere Forschungsergebnisse und Theorien lassen vermuten, dass sich alle Kräfte und Teilchen durch Verzerrungen eines 10-, 11- bzw. 26-dimensionalen Raumes darstellen lassen; nachdem diese zusätzlichen Dimensionen nicht dirket beobachtbar sind, vermutet man, dass sie "kompaktifiziert" sind, also quasi "zusammengerollt" (als Analogie wird gerne ein Strohhalm herangezogen, der aus der Ferne eindimensional aussieht, aber trotzdem eine Oberfläche besitzt). Hier existiert eine Fülle von Theorien, wie ein Blick bei Wikipedia unter dem Suchbegriff "Stringtheorie" zeigt.

gebrochene Dimensionen

Hier wird es zunächst sehr abenteuerlich, denn wie soll man sich einen 1,5-dimensionalen Raum vorstellen?

Betrachten wir folgende, zuerst umständlich erscheinende Methode zur Bestimmung der Dimension:
Zerlegt man eine Strecke in b=3 gleiche Teile, so ist ein Streckenanschnitt nun r=1/b=1/3 der Ursprungslänge; die Strecke ist nun in N=b=b¹=3 Teile geteilt; man beachte den Exponenten 1, dieser liefert die Dimension (genauer die Ähnlichkeitsdimension) der Strecke.

Nun Nehmen wir ein Quadrat und teilen die Kanten wieder in b=3 gleiche Teile. Wie man sieht, entstehen nun N=b²=9 Teile; das Quadrat hat die Dimension 2.

Analoges Vorgehen beim Würfel: hier ergeben sich N=b³=27 kleinere Würfel – die Dimension ist 3.

Mathematisch lässt sich die Dimension D darstellen als D=log(N)/log(b).

Nun wollen wir eine Kochkurve betrachten. Sie wird gebildet, indem man eine Strecke drittelt und das mittlere Stück durch eine "Spitze" ersetzt (alle Teilstrecken haben dieselbe Länge:


Nun werden die Teilstrecken jeweils wieder gedrittelt und ergänzt:




Führt man das undendlich oft aus, entsteht die fraktale Koch-Kurve. Es stellt sich nun heraus, das die Strecke nach der Teilung durch b=3 nun N=4 Teile aufweist, sodass hier ein gebrochenzahliger Exponent auftaucht; die Dimension D ist D=log(N)/log(b)=log 4/log 3=1,2618...

Benoît Mandelbrot verknüpft in seinem Buch "Die fraktale Geometrie der Natur" nun die Überlegungen zu gebrochenen Dimensionen mit dem Wachstum von Bäumen und der Lunge. Stark vereinfacht beschreibt er, dass die Lunge so konzipiert ist, dass die Dimension der Fläche der Lungenbläschen (Alveolen) so nahe wie möglich an 3 heranreicht, denn dann würde der Raum der Lungenflügel komplett "Fläche" sein und somit der Gasaustausch optimal erfolgen. Experimentelle Untersuchungen haben ergeben, dass die Oberfläche der Lunge eine Dimension von etwa 2,7 aufweist.

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